Пособие по подготовке
Возьмём прямую с уравнением \(ax + by + c = 0\), а также точку \((x_0; y_0)\)
Нормальный вектор прямой \(\vec{\{a; b\}}\), значит перпендикулярный ему вектор \(\vec{\{b; -a\}}\). Тогда прямая перпендикулярная той прямой, которая проходит через точку, имеет уравнение \(b(x - x_0) - a(y - y_0) = 0 \Leftrightarrow bx - ay - (bx_0 - ay_0) = 0\).
Найдём точку \((x_1; y_1)\) на начальной прямой, ближайшую к начальной точке. Она будет на пересечении прямой и перпендикулярной прямых. Решим систему уравнений.
Осторожно! Шок-контент! Ниже расположено зашкаливающее количество ужасающих уравнений. Продолжайте чтение на свой страх и риск
\[\begin{cases} ax_1 + by_1 + c = 0 \\ bx_1 - ay_1 - (bx_0 - ay_0) = 0 \end{cases}\]Решим первое уравнение:
\[x_1 = \frac{-c - by_1}{a}\]Подставим \(x_1\):
\[b \cdot \frac{-c - by_1}{a} - ay_1 - (bx_0 - ay_0) = 0 \\ bc + b^2y_1 + a^2y_1 + abx_0 - a^2y_0 = 0 \\ y_1(a^2 + b^2) = a^2y_0 - abx_0 - bc \\ y_1 = \frac{a^2y_0 - abx_0 - bc}{a^2 + b^2}\]Подставим и посчитаем \(x_1\):
\[x_1 = \frac{-c - b \cdot \frac{a^2y_0 - abx_0 - bc}{a^2 + b^2}}{a} = \\ = \frac{\frac{a^2by_0 - ab^2x_0 - b^2c + c(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2}}{-a} = \\ = \frac{a^2by_0 - ab^2x_0 - a^2c}{-a(a^2 + b^2)} = \frac{b^2x_0 - aby_0 - ac}{a^2 + b^2}\]Теперь можем посчитать расстояние от точки \((x_1; y_1)\) до \((x_0; y_0)\):
\[d = \sqrt{(x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2} = \sqrt{(\frac{b^2x_0 - aby_0 - ac}{a^2 + b^2} - x_0)^2 + (\frac{a^2y_0 - abx_0 - bc}{a^2 + b^2} - y_0)^2} = \\ = \sqrt{(\frac{b^2x_0 - aby_0 - ac - x_0(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2})^2 + (\frac{a^2y_0 - abx_0 - bc - y_0(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2})^2} = \\ = \sqrt{\frac{(-aby_0 - ac - a^2x_0)^2 + (-abx_0 - bc - b^2y_0)^2}{(a^2 + b^2)^2}} = \\ = \sqrt{\frac{a^2(ax_0 + by_0 + c)^2 + b^2(ax_0 + by_0 + c)^2}{(a^2 + b^2)^2}} = \\ = \sqrt{\frac{(a^2 + b^2)(ax_0 + by_0 + c)^2}{(a^2 + b^2)^2}} = \\ = |\frac{ax_0 + by_0 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}|\]