Векторы, основные понятия. (Длина вектора, параллельность, перпендикулярность, коллинеарные векторы, сонаправленные, противоположно направленные векторы, равенство векторов, свойства равных векторов, нулевой вектор). Сложение и вычитание векторов. Свойства сложения. Умножение вектора на число. Свойства умножения.

Базовые определения

Направленный отрезок - это две упорядоченные точки: начало и конец.

Вектор - совокупность всех коллинеарных направленных отрезков(то есть тех, которые можно отложить на одной прямой).

Длина вектора - длина одного из направленных отрезков, то есть расстояние от его начала до конца. Два параллельны, если изображения их направленные отрезки могут быть отложены на параллельных прямых.

Два вектора перпендикулярны, если перпендикулярны прямые, на которых из можно отложить

Коллинеарность = параллельность

Сонаправленные: Вектора коллинеарны, и пересечение лучей, заданных этими векторами - луч.

Противонаправленные: Вектора коллинеарны, и пересечение лучей, заданных этими векторами - точка, отрезок или пустое множество.

Два вектора равны, если они коллинеарны и имеют равную длину.

От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Нулевой вектор - вектор с длиной ноль, изображается в виде точки. Ноль вектор коллинеарен любому, но не сонаправлен никакому вектору.

Сложение векторов

Суммой двух векторов называется такой вектор, который получится, если от конца первого вектора отложить второй, тогда суммой будет вектор с началом первого и концом второго.

Свойства

1. \(\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}\) очевидно
2. \(\vec{a} + \vec{-a} = \vec{0}\) очевидно
3. \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}\)
   Доказательтво по правилу параллелогрмма и разбором: коллинеарный или нет: сонаправленные или противонаправленные
4. \((\vec{a} + \vec{b}) + \vec{с} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{с}) = \vec{a} + \vec{b} + \vec{с}\)
   Доказательство построением

Вычитание векторов

\(\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})\) определение

Умножение вектора на число:

Произведением числа \(k\) на \(\vec{a}\) называется вектор коллинеарный \(\vec{a}\), по длине равный \(|k| \cdot |\vec{a}|\), сонаправленный \(\vec{a}\), если \(k > 0\), иначе противонаправленный. Если \(k = 0\) или \(\vec{a} = \vec{0}\), то произведение равно \(\vec{0}\).

Свойства

1. \(0 \cdot \vec{a} = \vec{0}\) очевидно
2. \(k \cdot \vec{0} = \vec{0}\) очевидно
3. \((k + m) \cdot \vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}\)
   Доказательтво ужасным перебором k, m и \(\vec{a}\)
4. \(k \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}\)
   Доказательтво ужасным перебором k, \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\)
5. \(k \cdot m\vec{a} = km\vec{a}\)
   Доказательтво ужасным перебором